第一種完全楕円積分 $K(k)$ の積分表示と級数表示を用いれば，

\begin{align*} &\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\right)^2 \int_0^1 x^{2n} dx \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^1 K(x) dx \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^1 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} dx\\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2 \sin^2 \theta}} d\theta \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \Biggl[ \frac{\arcsin(x\sin\theta)}{\sin \theta}\Biggr]_0^{1} \\ &= \frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta}{\sin\theta} d\theta \\ &= \frac{4G}{\pi}. \end{align*}

最後の変形ではカタラン定数の積分表示

\begin{align*} G = \frac12 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\theta}{\sin\theta} d\theta \end{align*}

を用いた．この式は今回の問題の結果を用いずに証明が可能である．