圏 $C$ を次のように定義する．

• $C$ は2つの集まり $\mathrm{Ob}(C)$ と $\mathrm{Mor}(C)$ の組である．$\mathrm{Ob}(C)$ の元を対象， $\mathrm{Mor}(C)$ の元を射という．
• 各 $f \in \mathrm{Mor}(C)$ に対して対象 $\mathrm{dom}(f) \in \mathrm{Ob}(C)$ と対象 $\mathrm{cod}(f) \in \mathrm{Ob}(C)$ が定められている．前者をドメイン，後者をコドメインといい，このとき $f : a\to b$ とかく．
• 2つの $C$ の射 $f: a\to b,\ g:b\to c$ に対して新しい射 $g \circ f: a\to c$ が定められている． $g \circ f$ を $f$ と $g$ の合成射という．
• 3つの $C$ の射 $f:a \to b,\ g:b \to c,\ h:c \to d$ に対して $(h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f)$ が成り立つ．
• 各 $c \in \mathrm{Ob}(C)$ に対して射 $\mathrm{id}_c : c\to c$ が存在し，任意の $C$ の射 $f : a\to b$に対し$f\circ \mathrm{id}_a = f,\ \mathrm{id}_b \circ f = f$ が成り立つ．

以後，簡単のために $a \in \mathrm{Ob}(C)$ を $a \in C$，$f \in \mathrm{Mor}(C)$ を $f \in C$ とかくこともある．

$C,D$ を圏とする． $C$ から $D$ への関手 $F : C \to D$ を次のように定義する．

• $F$ は $a \in \mathrm{Ob}(C)$ に対し $F(a) \in \mathrm{Ob}(D)$ ， $f \in \mathrm{Mor}(C)$ に対し $F(f) \in \mathrm{Mor}(D)$ を対応させる関数である．
• $f : a\to b$のとき，$F(f) : F(a) \to F(b)$である．
• $\mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(f)$ のとき $F(g\circ f) = F(g) \circ F(f)$ である．
• $a \in C$ に対して $F(\mathrm{id}_a ) = \mathrm{id}_{F(a)}$ である．

• 集合を対象，その関の写像を射とすれば圏になる．この圏を $\mathbf{Set}$ とかく．
• 対象をただひとつ $*$ のみとし，射も $\mathrm{id}_*$ のみとすれば圏になる．この圏を $\mathbf{1}$ とかく．
• $X$ を集合としたとき， $\mathrm{Ob}(\widetilde{X}) = X$ で射を恒等射のみとすれば， $\widetilde{X}$ は圏になる．集合はこの方法で圏とみなす．

$C$ を圏， $a,b \in C$ とする．

• $C$ の射　$f: a\to b$ が同型射 $\iff$ ある射 $g: b\to a$ が存在して $g \circ f = \mathrm{id}_a,\ f \circ g = \mathrm{id}_b$ を満たす．
• $a$ と $b$ が同型 $\iff$ ある同型射 $f:a\to b$ が存在する．

$C$ を圏， $f : a\to b$ を $C$ の射とする．

• $f$ がモノ射 $\iff$ 任意の対象 $c \in C$ と 任意の射 $g, h: c\to a$ に対し，$f\circ g = f\circ h$ ならば $g=h$ ．
  
• $f$ がエピ射 $\iff$ 任意の対象 $c \in C$ と 任意の射 $g, h: b\to c$ に対し，$g\circ f = h\circ f$ ならば $g=h$ ．
  

$C, D$ を圏， $F: C\to D$ とする．

• $F$ が忠実 $\iff$ 任意の $a,b \in C$ に対し，$F: \mathrm{Hom}_C (a,b) \to \mathrm{Hom}_D (Fa, Fb)$ が単射．
• $F$ が充満 $\iff$ 任意の $a,b \in C$ に対し，$F: \mathrm{Hom}_C (a,b) \to \mathrm{Hom}_D (Fa, Fb)$ が全射．

$C, D$ を圏， $F, G: C\to D$ を関手とする． $F$ から $G$ への自然変換を次のように定義する．また，このとき $\theta : F \Rightarrow G$ とかく．

• $D$ の射の族 $\theta = \{ \theta_a : Fa \to Ga \}_{a \in C}$ である．
• $C$ の射 $f : a \to b$ に対して $Gf \circ \theta_a = \theta_b \circ Ff$ を満たす，すなわち次の図式が可換となる．
  

• 自然変換 $\theta$ が自然同型 $\iff$ 各 $\theta_a$ が同型射となる．
• 関手 $F, G:C \to D$ が自然同型 $\iff$ 自然同型 $\theta : F \Rightarrow G$ が存在する．

• $C, D$ を圏， $F, G, H: C \to D$ を関手， $\theta: F \Rightarrow G,\ \sigma : G \Rightarrow H$ を自然変換とする．
  
  このとき， $a \in C$ に対して $(\sigma \circ \theta)_a = \sigma_a \circ \theta_a$ と定義すれば，自然変換 $\theta, \sigma$ を合成した新しい自然変換 $\sigma \circ \theta : F\Rightarrow H$ が得られる．これを垂直合成という．
  
• $A, B, C$ を圏， $F, G:A\to B$ と $H: B\to C$ を関手， $\theta: F\Rightarrow G$ を自然変換とする．
  
  このとき， $ a\in A$ に対して $(H\theta )_a = H(\theta_a)$ と定義すれば，新しい自然変換 $H\theta : HF \Rightarrow HG$ が得られる．
  
• $A, B, C$ を圏， $F:A\to B$ と $G, H: B\to C$ を関手， $\theta: G\Rightarrow H$ を自然変換とする．
  
  このとき， $ a\in A$ に対して $(\theta_F )_a = \theta_{Fa}$ と定義すれば，新しい自然変換 $\theta_F : GF \Rightarrow HF$ が得られる．
  

$C, D$ を圏とする．このとき， $C$ から $D$ への関手とその間の自然変換がなす圏 $D^C$ が次のように定義できる．

• $\mathrm{Ob}(D^C)$ を $C$ から $D$ への関手全体とする．
• $F, G \in \mathrm{Ob}(D^C)$ に対して， $F$ から $G$ への射を自然変換 $F \Rightarrow G$ とする．
• 射の合成を垂直合成とする．
• $F \in \mathrm{Ob}(D^C)$ に対し，恒等射 $\mathrm{id}_F : F\Rightarrow F$ を $(\mathrm{id}_F)_a = \mathrm{id}_{Fa}$ と定義する．

$F: C\to D$ を関手， $M$ を圏とする．

• $F : \mathrm{Ob}(C^M) \to \mathrm{Ob}(D^M) $ を $F(G) = FG$ で定義し， $\theta: G\Rightarrow H$ に対して $F(\theta) = F\theta$ と定義すれば， $F$ は関手 $F : C^M \to D^M$ を定める．
  
• $F^{-1} : \mathrm{Ob}(M^D) \to \mathrm{Ob}(M^C)$ を $F^{-1}(G) = GF$ で定義し， $\theta: G\Rightarrow H$ に対して $F^{-1}(\theta) = \theta_F$ と定義すれば，関手 $F^{-1} : M^D \to M^C$ が定まる．
  

• $C, D$ を圏とする．一意に存在する関手$ u: C \to \mathbf{1}$から関手 $ u^{-1} : D = D^{\mathbf{1}} \to D^C$ が得られる．これを対角関手といい， $\Delta$ とかく．すなわち，対角関手 $\Delta : D\to D^C$ は次のような関手である．
  • $a \in D$ に対し，$ \Delta a$ は次のような関手 $\Delta a : C \to D$ である．
    • $c \in C$ に対し $\Delta a(c) = a$ ．
    • $f \in \mathrm{Mor}(C)$ に対し $\Delta a(f) = \mathrm{id}_a$ ．
    
  • $f : a\to b$ に対し， $\Delta f$ は次のような自然変換 $\Delta f : \Delta a \Rightarrow \Delta b$ である．
    • $c \in C$ に対し $(\Delta f)_c = f$ ．
    
• 全単射 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{Cat}}(A \times B, C) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbf{Cat}}(A, C^B)$ が存在する．すなわち，関手 $T : A\times B \to C$ と関手 $\widetilde{T} : A \to C^B$ は一対一に対応する．

$C$ を圏， $a, b \in C$ とする．

• $F : \mathrm{Ob}(C) \to \mathrm{Ob}(\Set)$ を $b \mapsto \Hom_C (a,b)$ で定義し， $C$ の射 $g: b \to b'$ に対して写像 $F(g) = \Hom_C (a, b) \to \Hom_C (a, b')$ を $h \mapsto g \circ h$ と定義すれば， $F$ は関手 $F : C \to \Set$ を定める．この $F$ を $\Hom_C (a, -)$ とかき，Hom関手という．写像 $\Hom_C (a, g)$ を単に $g \circ -$ とかくことにする．
  
• 圏 $C^{op}$ を考えると関手 $\Hom_{C^{op}} (a, -) : C^{op} \to \Set$ が得られるが， $\Hom_{C^{op}}(a, b) = \Hom_{C}(b,a)$ であったから $\Hom_{C}(-, a) = \Hom_{C^{op}}(a, -)$ とかく．
  
• 射 $f:a'\to a$ と $g:b\to b'$ に対して
  
  と定義すれば， $\Hom_C$ は関手 $\Hom_C : C^{op} \times C \to \Set$ となる．
• 1.3.6より，関手 $\Hom_C : C^{op} \times C \to \Set$ に対応する関手 $y : C \to \Set^{C^{op}} $ が存在する．圏 $C$ に対して $\widehat{C} = \Set^{C^{op}}$ とかき，この関手 $y : C \to \widehat{C} $ を米田埋込という．米田埋込は次のような関手である．
  • $a\in C$ に対し $y(a) = \Hom_{C}(-,a)$ である．
  • $C$ の射 $f: a\to b$ に対し $y(f) : y(a) \Rightarrow y(b)$ であり，これは $s \in C$ に対して $y(f)_s = f\circ - : \Hom_C (s,a) \to \Hom_C (s, b)$ で与えられる自然変換である．

$C$ を圏，$a\in C$，$P \in \widehat{C}$ とする．このとき，全単射 $\Hom_{\widehat{C}}(\Hom_{C}(-,a), P) \cong P(a)$ が存在する．双対を考えれば，$P \in \Set^C$ に対して全単射 $\Hom_{\Set^C}(\Hom_{C}(a,-), P) \cong P(a)$ が存在する．

米田の補題（とその系）は非常に重要であり，頻繁に使用される．

$C$ を圏，$a, b \in C$ とする．

• 米田埋込 $y : C\to \widehat{C}$ は忠実充満である．
• 米田の補題の全単射は $a$ について自然であり，自然同型 $\Hom_{\widehat{C}}(y(-), P) \cong P$ を定める．
• $x \in C$ について自然に $\Hom_C(x, a) \cong \Hom_C(x, b)$ なら，$a \cong b$である．
• $x \in C$ について自然に $\Hom_C(a, x) \cong \Hom_C(b, x)$ なら，$a \cong b$である．

$A, B, C$ を圏，$K : A\to C,\ L:B\to C$ を関手とする．このとき，コンマ圏 $K \downarrow L$ を次のように定義する．

• $K \downarrow L$ の対象を組 $(a, b, f)$ であり以下を満たすものとする．
  • $a \in \mathrm{Ob}(A)$．
  • $b \in \mathrm{Ob}(B)$．
  • $f : Ka \to Lb$ は $C$ の射．
• $K \downarrow L$ の射 $(a,b,f) \to (a', b', f')$ を組 $(g, h)$ であり以下を満たすものとする．
  • $g : a \to a'$ は $A$ の射．
  • $h : b \to b'$ は $B$ の射．
  • $Lh \circ f = f' \circ Kg$ ．
  

$C, D$ を圏，$G : D \to C$ を関手，$c \in C$ とする．このとき，

• コンマ圏 $c \downarrow G$ の始対象 $(d, f)$ を，$c$ から $G$ への普遍射という．
• コンマ圏 $G \downarrow c$ の終対象 $(d, f)$ を，$G$ から $c$ への普遍射という．

関手 $F : C \to \Set$ が表現可能関手 $\iff$ ある $c \in C$ と自然同型 $ F \cong \Hom_C(a,-)$ が存在する．

$\alpha : \Hom_C(a,-) \Rightarrow F$ を自然変換，$x \in Fa$ を米田の補題により $\alpha$ に対応する元とする．このとき，

• $G : D \to C$ を関手，$c \in C$ とする．このとき， \begin{align*} c\ \textrm{から}\ G\ \textrm{への普遍射が存在} \iff \Hom_C(c, G(-))\ \textrm{が表現可能関手．} \end{align*}
• $F : C \to D$ を関手，$d \in D$ とする．このとき， \begin{align*} F\ \textrm{から}\ d\ \textrm{への普遍射が存在} \iff \Hom_D(F(-), d)\ \textrm{が表現可能関手．} \end{align*}